سوالات

به چند طریق می‌توان ۳ توپ مشابه سفید، ۲ توپ مشابه سیاه و ۲ توپ مشابه آبی را در یک ردیف چید، به‌طوری که ۲ توپ آبی، مجاور نباشند؟

مجموعه اعداد ۸ رقمی که فقط از ارقام ۱، ۲ و ۳ تشکیل شده‌اند را A می‌نامیم. تعداد ارقام ۳ به‌کاررفته در اعضای A ، کدام است؟

به چند طریق می‌توان ۲ خانه از ۲۵ خانه یک جدول ۵×۵ انتخاب کرد، به‌طوری‌که در یک سطر یا در یک ستون، <u>نباشند</u>؟

چند تابع یک به یک مانند f از 1,2,⋯,11 به 1,2,⋯,25 وجود دارد، به‌طوری‌که به‌ازای هر k ∈ 1,2,⋯,11 ، عدد k+f(k) فرد باشد؟

تابع مولد (معمولی) دنبالهٔ a_n _(n≥ 0) با ضابطهٔ زیر کدام است؟ a_n = ۲,, n≥ ۰ و زوج ; ۳,, n≥ ۰ و فرد

۳۰ مهره سفید دوبه‌دو غیرمشابه و ۳ مهره سیاه مشابه داریم. به چند طریق می‌توان این ۳۳ مهره را دور یک دایره چید به‌طوری که میان هر دو مهره سیاه، ۱۰ مهره سفید به‌طور متوالی، قرار بگیرند؟

گراف کامل ۸ رأسی، چند زیرگراف یکریخت (همسان) با گراف زیر دارد؟

G یک گراف ۴ ـ منتظم (درجه هر رأس ۴) با ۱۲ رأس است. G چند مسیر با ۳ رأس دارد؟

به چند طریق می‌توان ۱۶ پله را با قدم‌های یک و دو پله‌ای طی کرد، به‌طوری‌که پله هشتم با قدم یک پله‌ای طی شود؟

فرض کنید: n = ۰، ۱، ۲، … و تعداد حالات پیمودن n پله با قدم‌های ۲پله‌ای و ۳پله‌ای = a_n . کدام مورد درست است؟

کوچک‌ترین مقدار m چقدر است به‌طوری‌که در هر زیرمجموعهٔ m عضوی از 1, 2, …, 60 ، چهار عدد متمایز a ، b ، c و d موجود باشد، به‌طوری‌که a^2 + b^2 + c^2 + d^2 مضرب ۳ باشد؟

چند تابع پوشا و صعودی از مجموعه 1,2,…,20 به مجموعه 1,2,…,10 می‌توان نوشت؟ (دامنه را برابر 1,2,…,20 درنظر بگیرید.)

می‌خواهیم اعداد ۱ تا ۱۰۰ را در ۱۰ دستهٔ متمایز ۱۰ تایی قرار دهیم، به‌طوری که در هر دسته، ۵ عدد زوج و ۵ عدد فرد وجود داشته باشد. به چند طریق، این افراز امکان‌پذیر است؟ (ترتیب اعضا در هر دسته مهم نیست.)

اگر برای هر 1 ≤ i ≤ 9 داشته باشیم: f(i+1) - f(i) ≥ 10 ، چند تابع مانند f از مجموعه 1, 2, …, 10 به مجموعه 1, 2, …, 100 می‌توان تعریف کرد؟

در کدام‌یک از دنباله‌های بازگشتی زیر، جمله عمومی دنباله به فرم a_n = a.2^n + b.2^2n + c.2^3n خواهد بود؟ (فرض کنید سه جمله اول هر دنباله، مقادیری معلوم هستند و برای n ≥ 4 ، رابطه بازگشتی داده شده است.)

اگر i ≠ f(i) باشد، برای هر i از دامنه، چند تابع دوسویی از 1,2,3,4,5 به مجموعه 2,3,4,5,6 وجود دارد؟

گراف G ، به‌صورت زیر تعریف می‌شود: هر زیرمجموعه ۳ عضوی از مجموعه ۱,۲,…,۱۰ را یک رأس درنظر بگیرید. دو رأس A و B مجاورند، هرگاه کوچک‌ترین عضو A با بزرگ‌ترین عضو B برابر باشد. ماکزیمم درجه و مینیمم درجه…

گراف G ، به‌صورت زیر تعریف می‌شود: هر زیرمجموعه ۳ عضوی از مجموعه 1,2,…,10 را یک رأس است و دو رأس A و B مجاور هستند اگر تفاضل متقارن A و B دوعضوی باشد ( A Δ B =2 ). چند گزاره از گزاره‌های زیر، درباره…

گراف G ، به‌صورت زیر تعریف می‌شود. این گراف چند یال دارد؟ V(G)= (x,y) x,yinN, ۱≤ x≤ ۹, ۱≤ y≤ ۶ E(G)= A,B A,B∈ V(G), AB=√۱۳

تعداد کوچک‌ترین درخت‌های فراگیر در گراف وزن‌دار زیر، کدام است؟ (گراف زنجیره‌ای افقی از مثلث‌هاست که روی یک ستون افقی مشترک قرار دارند. از چپ به راست مثلث‌ها یک‌درمیان می‌آیند: یک مثلث «رو به بالا» که…

تعداد اعداد صحیح بین ۱ تا ۹۹۹,۹۹۹ که مجموع ارقام آن‌ها عددی زوج باشد، برابر است با ................. .

چند عدد شش رقمی با سه رقم زوج و سه رقم فرد وجود دارد؟

تعداد مثلث‌هایی که طول اضلاع آن‌ها اعداد صحیح باشند و محیط برابر با ۴۰ داشته باشند، برابر است با ................. .

ضریب x^۵۳ در بسط ∑_(m=۰)^۱۰۰C(۱۰۰, m)(x-۳)^(۱۰۰-m)· ۲^m برابر است با .................. .

اگر جمله دوم در بسط (13√(a)+dfrac a sqrt a^(-1) )^n وقتی a≠ 0 ، برابر با 14 a^(5/2) باشد، مقدار dfrac dbinom n 3 dbinom n 2 برابر است با ................ .

به چند طریق می‌توان از بین 3n عدد صحیح متوالی، 3 عدد را طوری انتخاب کرد که مجموع آن‌ها بر 3 بخش‌پذیر باشد؟

به چند طریق می‌توان از بین اعداد طبیعی ۱ تا ۳۰ سه عدد انتخاب کرد به‌طوری‌که حاصل‌جمع آن‌ها زوج باشد؟

اگر (1+2x+3x^2)^10=a_0+a_1x+a_2x^2+⋯+a_۲۰x^۲۰ ، آنگاه a_1 برابر است با .................... .

حاصل‌جمع اعداد چهار رقمی حاصل از تمام جایگشت‌های ممکن ارقام ۴, ۳, ۲, ۱ برابر است با ............... .

حاصل‌جمع frac C(n, 0) 1 +frac C(n, 1) 2 +frac C(n, 2) 3 +⋯+frac C(n, n) n+1 برابر است با ................. .

فرض کنیم f(x) = 2/(1-2x) + dfrac G(x) (1-x)^2 تابع مولد دنباله ۱ و ۲ و ۵ و ۱۲ و ۲۷ و ۵۸ و ۱۲۱ و... باشد. کدام گزینه در مورد G(۲) درست است؟

فرض کنیم C صفحه شطرنجی زیر شامل خانه‌های هاشور نخورده باشد. اگر x × ۴! تعداد حالت‌هایی باشد که می‌توان شش رخ را در صفحه C قرار داد به‌طوری‌که یکدیگر را نزنند، کدام گزینه درست است؟ صفحه ۶× ۶ است و…

از دو گزاره زیر کدام درست است؟ الف) اگر G یک گراف همبند مسطح باشد، در هر ترسیم مسطح G تعداد ناحیه‌ها عددی ثابت است. (منظور از لاین گراف G ، گرافی است که مجموعهٔ رأس‌های آن برابر است با مجموعهٔ…

به چند طریق می‌توان مجموعهٔ 1,2,…,15 را به ۳ زیر مجموعهٔ ۵ عضوی افراز کرد؟

lim_(n→∞)dfrac b_n b_(n-1) برابر با چند است؟ b_۱ = ۲ ; b_۲ = ۱ ; ∀_n ≥ ۳ b_n = b_(n-۱) + ۶ b_(n-۲)

چند عدد ۹ رقمی با ارقام متمایز و فاقد رقم صفر وجود دارد به‌طوری‌که هیچ دو رقم فردی مجاور <u>نباشد</u>؟

چند تابع f: 1,2,…,10 → 1,2,…,12 وجود دارد که f(5)=f(6)=f(9) و f(5)≠ f(2) ؟

مجموعه 1,2,…,70 دارای چند زیرمجموعه ۷ عضوی مانند A است، به‌طوری‌که باقی‌مانده هر دو عضو متمایز A در تقسیم بر ۷ متفاوت باشد؟

به چند طریق می‌توان ۱۰ عدد متمایز دو رقمی انتخاب کرد به‌طوری‌که حاصل‌ضرب آنها مضرب ۷ <u>نباشد</u>؟

تعداد اعداد ۱۰ رقمی با ارقام 1, 2, 3, 4 به‌طوری‌که مجموع هر یک از آن‌ها زوج باشد، چند است؟