سوالات

جرم کل چهاروجهی محدود به صفحات مختصات و صفحهٔ x+y+z=۱ واقـع در ۱/۸ اول فضـا و تـابع چگـالی ρ(x,y,z)=dfrac ۱۶ (۱+x+y+z)^۳ ، کدام است؟

فرض کنید z = z(x, y) ، u = e^ycos x + xe^z و x^۲z + yln x = xcos y . مقدار (∂ u)/(∂ x)(۱,۰) ، کدام است؟

فرض کنید C منحنی قطبی r = ۲۳√(cosθ) به‌ازای (-π)/۲ ≤ θ ≤ (π)/۲ واقع در صفحهٔ مختصات xy باشد. مقدار ∫_C ۲xdx + dz ، کدام است؟

فرض کنید S آن قسمت از رویهٔ استوانه‌ای y = e^x واقع در 1/8 اول فضا باشد که تصویر قائم آن بر صفحهٔ yz به‌صورت R = ۱ ≤ y ≤ ۲ , ۰ ≤ z ≤ ۱ است. شار میدان F = ۲x i - ۳xy j + ln z k بر S کدام است؟

برای عدد طبیعی n ≥ ۲ ، چند جمله‌ای P_n(x) = frac x^۲n (۲n)! + frac x^(۲n-۱) (۲n-۱)! + ⋯ + x/(۱!) + ۱ ، چند ریشه حقیقی دارد؟

کدام مورد درخصوص تابع f:(-۱,∞)toR با ضابطهٔ زیر، درست است؟ f(x)= (x+۱)^(۱/x), x≠ ۰; e, x=۰

دامنهٔ تابع f(x)=logdfrac ۲-x x-sqrt x^۲-۲x+۲ ، کدام است؟

مساحت رویهٔ دوار حاصل از دوران منحنی y = ۲sin^۳ t و x = ۲cos^۳ t ، حول محور x ها، کدام است؟

مساحت کل ناحیهٔ بستهٔ درون منحنی قطبی r=cos ۲θ ، کدام است؟

حجم جسم حاصل از دوران ناحیهٔ محصور به محور y ها و یک طاق از منحنی x=۱-cos t و y=t-sin t ، حول محور y ها، کدام است؟

اگر a = lim_(x→ ۰) dfrac (e^۲x-۱-۲x)ln(۱-x^۳) (۱-cos ۳x)^n ، باشد، مقدار a/n کدام است؟

فرض کنید f(x,y)= dfrac ۲xy(x^۲-y^۲) x^۲+y^۲ , (x,y)≠(۰,۰) 4pt] ۰, (x,y)=(۰,۰) ، مقدار f_yx(۰,۰) کدام است؟

مقدار مشتق سویی مرتبۀ دوم تابع f(x,y)=x^۲e^((xy)) ، در نقطۀ (۱,۰) در سویی که با جهت مثبت محور x ها زاویۀ ۴۵ درجه می‌سازد، کدام است؟

فرض کنید A=∫ ∫_(R^۲)frac dxdy (x^۲+y^۲+۱)^k ، به‌ازای کوچک‌ترین مقدار صحیح ممکن برای k همگرا باشد، مقدار A کدام است؟ ( R مجموعه اعداد حقیقی است.)

فرض کنید S سطح واقع بر کرهٔ x^2+y^2+(z-2)^2=8 باشد که در بالای صفحهٔ xy قرار گرفته است. اگر میدان نیروی F(x,y,z)=y^2cos(xz)i+x^3e^((yz))j-e^(-(xyz))k ، از سطح S گذر کند، مقدار ∬_S CurlFcdotn dS کدام…

مجموعهٔ x : x>۰ , ∑_(n=۱)^(∞)frac x^nn! n^n <∞ کدام است؟

فرض کنید تابع حقیقی مقدار f بر [0,1] پیوسته و بر (0,1) مشتق‌پذیر باشد. به‌علاوه f(0)=0 و به‌ازای هر x ∈ (0,1) ، 0 ≤ f'(x) ≤ 1/2 f(x) . در این‌صورت کدام گزینه درست است؟

مقدار lim_(n→+∞)n√((۱+۱/۱)(۱+۱/۲)⋯(۱+۱/n)) کدام است؟

فاصلهٔ همگرایی سری تابعی ∑_(n=۱)^(∞)frac ۲x^۴n+x^(-۴n)+۳ ۱+x^۲n+x^(-۲n) کدام است؟

معادلهٔ صفحهٔ مماس بر رویه با معادلات پارامتری z=sin u و y=cos usin v ، x=cos ucos v بهازای u=(π)/4 و v=(π)/4 کدام است؟

حاصل ∫_۱^(∞)dfrac arctan x x^۲ dx کدام است؟

فرض کنید f یک تابع پیوسته و به‌ازای مقادیر ثابت و مثبت a و b و هر x ∈ [0,1] در [a,b] قرار گیرد. اگر A = ∫_0^1 dx/(f(x)) باشد، آن‌گاه کدام رابطه درست است؟

حاصل انتگرال ∬limits_D(x+1)^2y^2dxdy در ناحیهٔ D درون مثلثی با رأس‌های (0,0) و (1,-1) و (1,1) ، کدام است؟

انحنای منحنی r = ۳ + ۲cosθ در نقطهٔ (۳, (π)/۲) در مختصات قطبی، کدام است؟

حاصل ∬_S (yz dydz + zx dzdx + xy dxdy) که در آن S سطح کره‌ای به مرکز مبدأ مختصات به شعاع واحد است، کدام است؟

فرض کنید V حجم ناحیه‌ای باشد که از اطراف به استوانهٔ r=cosθ ، از بالا به مخروط z=16-sqrt x^2+y^2 و از پایین به صفحه xy محدود است. مقدار V کدام است؟

فرض کنید تابع حقیقی f بر [0,1] پیوسته، بر (0,1) مشتق‌پذیر و حدهای lim_(x→ 1) f'(x) و lim_(x→ 0) f'(x) موجود و متناهی باشند. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f:(0,∞)→(0,∞) پیوسته باشد و lim_(x→∞) f(x)∫_0^x f(t)dt = 1 . اگــر F(x)=∫_0^x f(t)dt ، آنگــاه lim_(x→∞) F(x) برابر کدام است؟

فرض کنید سری ∑_(n=1)^(∞) a_n همگرا و دنباله a_n نزولی است. کدام سری همگرا است؟