سوالات

فرض کنید T یک عملگر خطی روی P_2 ( فضای چند جمله‌ای‌های از درجه حداکثر ۲ ) با ضابطهٔ T(f(x)) = f(x) + (x+1)f'(x) باشد. در این صورت مقادیر ویژهٔ T کدامند؟

فرض کنید g : M_10(C) → C و h : C^2 → C^2 به‌صورت زیر تعریف شده باشند: g(A) = tr(A) + ∑_(i=1)^10(a_i1 + a_1i) و h(z_1, z_2) = (0, z_2 ), که در آن A = [a_ij]_(10× 10) . کدام‌یک از h و g ، روی C تبدیل…

فرض کنید A_(2023 × 1402) یک ماتریس روی C باشد. در این صورت کدام مورد درست است؟

فرض کنید M = A_(n× n), B_(n× n) ; C_(n× n), D_(n× n) یک ماتریس 2n× 2n بلوکی و معکوس‌پذیر باشد که n ≥ 3 و M^(-1) = E_(n× n), F_(n× n) ; G_(n× n), H_(n× n) . در این صورت det(M) det(H) برابر است با:

فرض کنید A ∈ M_4(R) یک ماتریس ناصفر و متقارن باشد که A^2 = A^T . در این‌صورت اگر λ_1, λ_2, …, λ_4 مقادیر ویژه A باشند، حاصل کسر dfrac (tr(A))^2 rank(A)(∑_(i=1)^4 λ_i) کدام است؟

فرض کنید منحنی y = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 چهار نقطه (0,5) ، (1,3) ، (2,3) و (3,1) را به روش کمترین مربعات خطا برازش کند. در این‌صورت، اثر (مجموع عناصر قطری) ماتریس ضرایب در معادلات نرمال، کدام است؟ (…

وارون ماتریس A = ۲, -۱, ۱ ; ۱, ۰, ۱ ; ۳, -۱, ۴ ، کدام است؟

فرض کنید det a_11, a_12, a_13 ; a_21, a_22, a_23 ; a_31, a_32, a_33 = ۱۲ . مقدار det 2a_11-3a_21, 2a_12-3a_22, 2a_13-3a_23 ; a_31, a_32, a_33 ; a_21, a_22, a_23 ، کدام است؟

عملگر خطی T روی R^2 با ضابطه T(x,y) = (x,0) تعریف شده است. ماتریس تبدیل T نسبت به پایه B = (1,1), (2,1) ، کدام است؟

T:CtoC یک تبدیل خطی -R است به‌طوری که برای هر zinC ، T(z)=az+bz که در آن a,binR . در این صورت اگر a = b ، دترمینان T ، کدام است؟

فرض کنید U و W دو زیرفضای متمایز با بعد ۴ از فضای برداری V با بعد ۶ باشند، آنگاه بعد V ∩ W ، کدام است؟

فرض کنید A یک ماتریس ۳×۳ روی R با دترمینان ۳۲ باشد. اگر ۴ یک مقدار ویژه A و بردارهای (۱,۲,۰) و (۲,۱,۱/۲) دو بردار ویژه وابسته به مقدار ویژه ۴ باشند، آنگاه اثر tr(A^۲) (یعنی اثر ماتریس A^۲ ) کدام است؟

فرض کنید B = ۴, ۱ ; ۲, ۶ ، هرگاه A یک ماتریس وارون‌پذیر ۲ × ۲ باشد و داشته باشیم A^۳ = A^۲B - ۳A^۲ ، کدام‌یک از ماتریس‌های زیر A است؟

بردارهای u_1 = (1, -1, 0) ، u_2 = (1, 1, 0) ، u_3 = (0, 1, 1) یک پایه برای R^3 تشکیل می‌دهند. مختصات بردار v = (5, 3, 4) نسبت به این پایه کدام است؟

فرض کنیم P_2(R) فضای برداری چندجمله‌ای‌های حداکثر از درجه ۲ روی میدان R باشد و T: M_(2× 2)(R) → P_2(R) با ضابطه T a, b ; c, d = (a+b) + 2dx + bx^2 باشد. اگر B ⊆ M_(2× 2)(R) پایه استاندارد فضای برداری…

فرض کنید a و b مقادیر ویژه ماتریس ۲×۲ با درایه‌های حقیقی A باشد. اگر ۵ = tr(A) و ۱۰ = det(A)، در این‌صورت b/۱ + a/۱ برابر است با:

چند جمله‌ای مینیمال و مشخصهٔ کدام‌یک از ماتریس‌های زیر با هم برابرند؟

فرض کنیم A یک ماتریس 2 × 2 حقیقی باشد به‌طوری‌که دارای دو مقدار ویژه ۴ و ۲- است. در این‌صورت A^3 برابر است با:

چند ماتریس A ∈ M_2(R) در رابطه‌ی 3A - 2A^t = tr(A)I_2 صدق می‌کند؟ (در اینجا A^t ماتریس ترانهاده‌ی A است.)

فضای تمام ماتریس‌های n× n با درایه‌های از میدان F را با M_n(F) نشان می‌دهیم. فرض کنید M∈ M_n(F) یک ماتریس بلوکی به فرم A, B ; C, D باشد که در آن، A∈ M_r(F) ، D∈ M_(n-r)(F) و 2≤ r<n . اگر A وارون‌پذیر…

فرض کنید P_3 فضای تمام چندجمله‌ای‌های حداکثر از درجه ۳ با ضرایب حقیقی باشد و قرار دهید W_1 = f(x) ∈ P_3 f'(-1) = 0 و W_2 = f(x) ∈ P_3 f''(1) = 0 . کدام گزینه صحیح است؟

فرض کنید V یک فضای برداری با بعد ۷ روی میدان F باشد. اگر V → V : T یک تبدیل خطی با شرط ۰ = T⁵ و ۰ ≠ T⁴، آنگاه کدام گزینه در مورد رتبه و پوچی T صحیح است؟

مقدار k چه باشد، که دستگاه معادلات خطی زیر یک جواب منحصر به فرد داشته باشد؟ 1, k, 1 ; k, 1, 1 ; -3, 0, -1 x_1 ; x_2 ; x_3 = k ; 2 ; -2

اگر A , B ∈ M_n(C) طوری باشند که ماتریس A با ماتریس (B^(-1))^t متشابه باشد، آنگاه کدام دو ماتریس زیر با هم متشابه هستند؟

ماتریس A = 2, 3, 4 ; 1, 5, 2 ; -2, 1, 3 را در نظر بگیرید. اگر f(x) = det(xI - A) چند جمله‌ای مشخصه این ماتریس باشد، مقدار f(0) برابر کدام است؟

فرض کنید X^2-2X+I=0 که در آن X یک ماتریس 2× 2 و I ماتریس همانی است. کدام گزینه درست است؟

اگر A= 1, 3 ; 4, 2 ، آنگاه tr(A^1400) کدام است؟

مسئله کم‌ترین مربعات خطی را به صورت min_x px - q _2 در نظر بگیرید. جواب این مسئله برابر با کدام است؟ ( p و q هر دو بردار هستند.)

اگر در یک دستگاه خطی داده شده به صورت Ax=b ، جواب‌های به‌دست آمده x و x به ازای بردارهای طرف راست تقریبا برابر b و b ، از یکدیگر دور باشند، آن‌گاه دستگاه مربوط چه نام دارد؟

فرض کنید توابع پایه‌ی φ_1(x), …, φ_n(x) نسبت به داده‌ی (x_i, y_i) ، i = 1, …, n ، دوبه‌دو متعامد هستند. چند جمله‌ای درون‌یاب به صورت f(x) = ∑_(j=1)^n a_j φ_j(x) به داده‌ها مدنظر است. a_1, …, a_n را…

اگر V= (a+۳b+۴c+۲d , ۲a+۲b+۴c , ۲b+۲c+۲d , -b-c-d) a,b,c,dinR آنگاه بعد زیرفضای V از R^۴ کدام است؟

A یک ماتریس ۲×۲ با درایه‌های حقیقی است که چند جمله‌ای مشخصهٔ آن برابر است با x^۲+۲x+۳ . مقدار tr(A^۲) برابر است با:

تبدیل خطی T:R^2toR^2 با ضابطهٔ T x ; y = x+y ; 2x-y داده شده است. ماتریس تبدیل خطی T نسبت به پایه‌های استاندارد، کدام است؟

اگر A یک ماتریس ۳×۳ با چندجمله‌ای مشخصه ۳ - ۲x - x^۳ باشد، آنگاه چندجمله‌ای مشخصه‌ی ماتریس A^(-۱) کدام است؟

فرض کنیم p_2(R) فضای چند جمله‌ای‌های از درجه حداکثر ۲ روی R باشد و تبدیل خطی T : p_2(R) → p_2(R) با ضابطه T(f) = f + f' + f'' را درنظر بگیرید. اگر β = 1, x, x^2 پایه p_2(R) باشد، آنگاه [T^(-1)]_β…

جواب مسئله min_x Ax - b _2 که در آن، A = A^T ، x^() است اگر و تنها اگر ............... باشد.

بُعد فضای جواب دستگاه x_1 + ۴x_2 - ۳x_3 = ۰ ; ۲x_1 + ۵x_2 - ۴x_3 = ۰ ; ۳x_1 + ۹x_2 - ۷x_3 = ۰ کدام است؟

اگر W= ۲x+۳y, ۲/۳x+y ; x+۳/۲y, ۴x+۶y middle x,yinR . آنگاه dim W کدام است؟

اگر ماتریس A وارون‌پذیر و A^(-1)B پوچ‌توان باشد، در مورد ماتریس A+B کدام مورد صحیح است؟

فرض کنید A ∈ M_10(R) و rank(A) = ۹ . دراین‌صورت rank(adj(A)) کدام است؟