سوالات

مرتبه عنصر (۱۰, ۸, ۵) در گروه G = Z_۴۵ × Z_۳۶ × Z_۷۰ ، چند است؟

گروه عناصر وارون‌پذیر حلقه Z_8 با کدام گروه یکریخت است؟

فرض کنید G گروه دوری از مرتبهٔ ۴۸ باشد و نگاشت φ : G → G با ضابطهٔ φ(g) = g^۳ را در نظر بگیرید. در این صورت کدام مورد درست است؟

گروه خودریختی‌های Z_۱۵ دارای چند عضو است؟

فرض کنید R و S دو حلقه یکدار و f : R → S یک همریختی حلقه‌ای ناصفر باشد. کدام مورد نادرست است؟

برای یک جایگشت σ ∈ S_n از مرتبهٔ زوج، کدام مورد درست است؟

در گروه خارج قسمتی G = Q/Z (که صورت و مخرج با جمع متعارف در نظر گرفته شده‌اند) کدام گزاره، نادرست است؟

در حلقهٔ Z[x] در مورد ایده‌آل‌های I=⟨ 2⟩ و J=⟨ x⟩ کدام گزاره درست است؟

فرض کنید R حلقه‌ای یکدار و I ایده‌آلی از آن باشد به‌طوری‌که هر عضو I پوچ‌توان است. اگر U(R) مجموعه اعضای وارون‌پذیر R باشد، آنگاه مجموعه U(R)+I برابر است با:

فرض کنید G یک گروه و H < G و H ≠ 1 ، دراین‌صورت:

فرض کنید R یک حلقه جابه‌جایی، a∈ R و R[x] حلقه چندجمله‌ای‌های آن باشد. همریختی φ_a : R[x]→ R با ضابطه φ_a(f(x))=f(a) را در نظر بگیرید. دراین‌صورت:

فرض کنید G = Z_2 × Z_8 و H = ⟨ (0,4), (1,2) ⟩ . دراین‌صورت کدام مورد درست است؟

چند عضو مرتبه ۱۲ در S_7 (گروه تقارن‌های روی ۷ حرف) وجود دارد؟

فرض کنید N یک زیرگروه نرمال با شاخص ۴ از گروه G باشد، در این‌صورت کدام‌یک از گزاره‌های زیر درست است؟

فرض کنید G گروهی از مرتبه ۸۴ باشد به‌طوری‌که یک همریختی پوشا از G به S_3 وجود دارد. در این‌صورت از کدام مرتبه حتماً یک زیرگروه نرمال برای G وجود دارد؟

فرض کنید G یک گروه ناآبلی متناهی و H یک گروه آبلی متناهی باشد که به‌ترتیب توسط مجموعه‌های X و Y تولید می‌شوند. اگر تمام عناصر X و Y از مرتبه ۲ باشند، کدام مورد درست است؟

فرض کنید G یک گروه و H < G و H ≠ 1 باشد، دراین‌صورت .............. .

یک حلقه را موضعی می‌نامند، هرگاه فقط یک ایده‌آل ماکسیمال داشته باشد. کدام‌یک از حلقه‌های زیر موضعی نیست؟

تعداد عناصر وارون‌پذیر کدام حلقه برابر با ۴ نیست؟

تعداد مقسوم‌علیه‌های صفر در حلقه Z_6 × Z_6 چندتا است؟ (عنصر صفر را هم به‌عنوان یک مقسوم‌علیه صفر در نظر بگیرید.)

فرض کنید G=Z_۴۸ و H=⟨ ۴⟩ و K=⟨ ۶⟩ . در این صورت مرتبه زیرگروه HK کدام است؟

فرض کنید R = M_2(F) حلقهٔ ماتریس‌های 2× 2 روی میدان F باشد. در مورد I = 0, 0 ; a, b middle a, b ∈ F کدام گزینه درست است؟

همریختی f از Z_4timesZ_4 به Z_4 با ضابطه f(a,b)=۲a+۲b تعریف شده است. در این صورت تعداد اعضای هستهٔ f کدام است؟

کدام گزینه درست است؟

فرض کنید G=Z_4timesZ_2 و f یک خودریختی G باشد به‌طوری‌که f((0,1))=(0,3) و f((1,0))=(1,0) . در این صورت f((1,3)) کدام است؟

در کدامیک از گزینه‌های زیر، G حداقل دو زیرگروه ماکسیمال با تعداد اعضای برابر دارد که یکی از آن‌ها آبلی و دیگری غیر آبلی است؟

گروه G = dfrac Z_۶ × Z_۱۵ ⟨ (۰,۳) ⟩ با کدام‌یک از گروه‌های زیر یکریخت است؟

فرض کنید H زیرگروهی از S_10 باشد که توسط دو جایگشت a = (۱۰ ۸ ۴ ۶) و b = (۷ ۵ ۳) تولید شده است. در این صورت Z(H) چند عضوی است؟

در حلقه R=C[x_۱,x_۲,x_۳,…] فرض کنیـد I=⟨ x_۱^۲,x_۲^۲,x_۳^۲,…⟩ . اگـر S=R/I و J=⟨ x_۱+I, x_۲+I, …⟩ ، آنگاه کدام گزینه درست است؟

حلقه‌ی (Z_5[x])/(⟨ x^3-1⟩) چند مقسوم‌علیه صفر (غیر صفر) دارد؟

فرض کنید R و S دو حلقه باشند و f : R → S یک همریختی حلقه‌ای باشد. در این صورت کدام گزینه همـواره یک ایده‌آل است؟

فرض کنید G=Z_۳۶ و H=⟨ ۳⟩ و K=⟨ ۲⟩ . در این صورت مرتبهٔ زیرگروه‌های HK و Hbigcap K به‌ترتیب کدام است؟

تعداد همریختی‌های گروهی یک به یک φ:Z_۳toZ_۹ چند تا است؟

تعداد همریختی‌های حلقه‌ای از ZtimesZ به Z برابر کدام است؟

گروه Z_6 × Z_6 دارای چند عضو از مرتبه ۶ است؟

گروه ماتریس‌های 3× 3 وارون‌پذیر روی میدان Z_5 را با GL_3(Z_5) نمایش می‌دهیم. اگر H_1 زیرگروه GL_3(Z_5) متشکل از تمام ماتریس‌های با دترمینان یک باشد، آنگاه:

گروه متناهی G و عدد اول p مفروض است به‌طوری‌که دقیقاً p عضو آن متعلق به مرکزش نیستند. G چند عضو دارد؟

حلقه dfrac R[x] ⟨ x^۴-۱⟩ با کدام گزینه یکریخت است؟

فرض کنید p یک عدد اول و G یک گروه متناهی از مرتبهٔ p^n باشد به‌طوری که G/(Z(G)) ≅ Z_p × Z_p . اگر x ∈ G ∖ Z(G) قرار می‌دهیم: M = g ∈ G xg = gx در این صورت کدام گزینه صحیح است؟

فرض کنید R حلقه‌ای جابه‌جایی و یکدار باشد و M_۱ و M_۲ ایده‌آل‌های ماکزیمال و متمایز R باشند، کدام گزینه صحیح است؟