سوالات

اگر X_1, X_2, X_3 متغیرهای تصادفی مستقل و هم‌توزیع از توزیع N(1/2, 2) باشند، E((X_1^2 + 2X_2^2 - 3X_3^2)/(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2)) کدام است؟

فرض کنید X_1 , … , X_n یک نمونه تصادفی از توزیعی با تابع توزیع پیوسته F باشد. همچنین فرض کنید Y یک متغیر تصادفی دیگر از همان توزیع F و مستقل از X_i ها باشد. حاصل P(Y > X_((1))) کدام است؟ ( X_((1))…

آزمایش‌های برنولی مستقل انجام می‌شوند که در هر کدام احتمال موفقیت p و احتمال شکست q=1-p است. دنباله‌ی X_n طبق رابطه‌ی داده‌شده ساخته می‌شود (رابطه‌ی بازگشتی شامل جمله‌ی ( ⋯ )/(1+X_n) و مجموع جزئی…

فرض کنید (X_n)_(n≥ 0) یک زنجیرهٔ مارکوف روی فضای حالت 0,1,2 با ماتریس انتقال زیر باشد: P = 1/3, 1/3, 1/3 ; 1/3, 2/3, 0 ; 0, 1, 0 اگر P(X_0 = 1) = P(X_0 = 0) = 1/2 ، مقدار E(X_2) کدام است؟

فرض کنید اتوبوس‌ها براساس فرایند پواسون با نرخ ۲ اتوبوس در ساعت به یک ایستگاه می‌رسند. مسافران نیز براساس فرایند پواسون مستقل از یکدیگر با نرخ ۱۰ نفر در ساعت وارد ایستگاه می‌شوند. به محض رسیدن…

مشتریان یک خودپرداز بانک طی یک فرایند پواسون با نرخ ۳ مشتری در هر ۵ دقیقه به آن مراجعه می‌کنند. احتمال اینکه زمان بین ورود مشتری اول و دوم حداقل ۲ دقیقه باشد، کدام است؟

فرض کنید N(t): t ≥ 0 یک فرایند پواسون با نرخ ۲ باشد. مقدار E(N(2) N(3) = 6) کدام است؟

در یک فرآیند شاخه‌ای فرض کنید X_n تعداد اعضای نسل n اُم و μ متوسط تعداد نوزادان هر فرد باشد و قرار دهید X_0 = 1 ، E X_n^2 = 1 . در این صورت E(X_m X_n) برای m ≤ n کدام است؟

در جعبه‌ای ۳ مهرهٔ سفید و هم‌چنین ۳ مهرهٔ سیاه قرار دارند. مهره‌ها را یک‌به‌یک و بدون جای‌گذاری انتخاب می‌کنیم تا همهٔ مهره‌های هم‌رنگِ سیاه یا همهٔ مهره‌های هم‌رنگِ سفید انتخاب شوند. احتمال این‌که…

کارگری در سه شیفت‌کاری مختلف به‌ترتیب ۲۰ و ۱۵ و ۳۰ قطعه در ساعت تولید می‌کند. اگر زمان کاری هر سه شیفت برابر باشد، میانگین تولید ساعتی این کارگر چقدر است؟

فرض کنید P(A)=P(B)=۰٫۶ و P(A B)=۰٫۸ باشد. مقدار P(A B') کدام است؟

روز تولد مینا ۲۱ مهر است. احتمال این‌که چهارمین نفر که مینا در مدرسه با او ملاقات می‌کند، نخستین نفری باشد که تولدش ۲۱ مهر است، چقدر است؟ (تعداد روزهای سال را ۳۶۵ روز بگیرید، شانس تولد در روزهای…

اگر در یک مجموعه داده، میانگین و میانه با هم برابر باشند، کدام مورد همواره درست است؟

از جعبه‌ای که ۳ مهره سیاه و ۴ مهره سفید دارد، مهره به‌طور تصادفی و با جایگذاری بر می‌داریم تا برای اولین بار سفید انتخاب شود. احتمال اینکه تعداد دفعات لازم برای انتخاب مهره تا مشاهده اولین مهره سفید…

فرض کنید X دارای توزیع تجمعی F(x)= x^۲, ۰≤ x<۱; ۱, x≥ ۱ باشد. مقدار E[(F(X))^۲(۱-F(X))^۳] چقدر است؟

متغیر تصادفی X دارای تابع احتمال زیر است که در آن ۱/۲ ≤ θ ≤ ۱ است. کمترین مقدار واریانس به‌ازای چه مقداری از θ حاصل می‌شود؟ x, -۱, ۰, ۱ ; hline P(X=x), (θ)/۲, ۱-θ, (θ)/۲

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته با مقادیر صحیح نامنفی و تابع مولد احتمال آن به‌صورت G(t)=۴/(۴-t) باشد، مقدار P(X=۱) چقدر است؟

فرض کنید X یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین μ و واریانس σ^2=۳ باشد. اگر E(e^X)=۱ باشد مقدار μ کدام است؟

فرض کنید X ~ N(۰,۳) باشد. مقدار E (X^۳ e^(X^۲)) کدام است؟

تعداد ماهی‌ها در یک دریاچه، یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر λ است. برای اطمینان از وجود ماهی، یک ماهی به دریاچه اضافه می‌کنیم. فرض کنید Y تعداد ماهی‌های حاصل شده باشد. E(Y^2) کدام است؟

فرض کنید X ~ U(0,1) ، واریانس Y = ln√(1/(1-X)) کدام است؟

مصرف روزانه آب (برحسب میلیون لیتر) در یک شهر، یک متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمالی زیر است. احتمال اینکه در روز مشخصی، مصرف آب بیش از ۷ میلیون لیتر شود، چقدر است؟ f(x)= ۲/۳(x-۵), ۵≤ x<۶…

فرض کنید دنباله‌ی X_n از متغیرهای تصادفی مستقل دارای توزیع دو جمله‌ای Bin(n,1/n) باشد. مقدار lim_(n→∞) E (e^(-X_n)) کدام است؟

فرض کنید (X,Y) دارای چگالی توأم زیر باشد. میانه متغیر تصادفی Y چقدر است؟ f(x,y)= ۱, ۰<x<۱, x<y<۱+x ; ۰, سایر جاها

فرض کنید X دارای توزیع پواسون با پارامتر λ = ۲ و P(Y = y X = x) = ۱/(x+۱), y = ۰, ۱, …, x ; ۰, در غیر این صورت. E[Y] کدام است؟

فرض کنید X + Y = 4X - 3 ، ضریب همبستگی X و Y چقدر است؟

اگر X_1 و X_2 دو متغیر تصادفی مستقل دارای توزیع نمایی با میانگین ۱/۲ باشند، مقدار E ((X_1+۳X_2)/(۵X_1+۵X_2)) کدام است؟

فرض کنید (X_n)_(n≥ 0) یک زنجیرهٔ مارکوف با فضای حالت 0,1,2 و ماتریس احتمال انتقال زیر باشد: P= ۰ , ۵, ۰ , ۵, ۰ ; ۰ , ۳, ۰ , ۲, ۰ , ۵ ; ۰, ۰ , ۴, ۰ , ۶ اگر P(X_0=۰)=۱ باشد، احتمال P(X_2=۲) کدام است؟

فرض کنید N(t), t ≥ 0 یک فرایند پواسن همگن با نرخ λ = ۴ باشد. اگر بدانیم در بازه‌ی (0, 2] دقیقاً ۳ رویداد رخ داده است، احتمال اینکه در بازه‌ی (0, 1] دقیقاً ۲ رویداد رخ داده باشد، چقدر است؟

فرض کنید X_n : n ≥ 0 یک فرایند گام‌برداری تصادفی ساده با X_0 = 0 است که در هر گام با احتمال 1/3 یک واحد به راست و با احتمال 2/3 یک واحد به چپ حرکت می‌کند. مقدار P(X_6 > 0) کدام است؟

فرض کنید N(t): t ≥ 1 یک فرایند پواسون با نرخ λ = ۵ باشد. اگر T_1 زمان اولین رخـداد باشد، مقدار Var(T_1 N(۳) = ۱) چقدر است؟

در یک زنجیره مارکف اگر احتمال گذار از حالت i به حالت j در دقیقاً n قدم، مثبت باشد، و همچنین احتمال گذار از حالت j به حالت i در دقیقاً m قدم، مثبت باشد، درمورد حالت‌های i و j کدام مورد درست است؟

فرض کنید N(t) : t ≥ 0 یک فرایند پواسون با نرخ λ = 4 باشد. مقدار E [ N (3/4) middle N (1/4) = 1 ] چقدر است؟

میانگین نمرات در درس‌های احتمال ۱ و احتمال ۲ به‌ترتیب ۱۴/۵ و ۱۴ است. واریانس این دو درس نیز به‌ترتیب ۹ و ۴ هستند. علی در هر دوی این دروس نمرهٔ ۱۶ گرفته است. کدام مورد درست است؟

فرض کنید A_n _(n=۱)^(∞) یک دنباله از پیشامدهای دلخواه باشد به‌طوری‌که lim_(n→∞) A_n وجود داشته باشد. کدام‌یک از موارد زیر <u>نادرست</u> است؟

ظرفی شامل ده کارت با شماره‌های ۱ تا ۱۰ است. اگر چهار کارت را به‌طور تصادفی، یک‌به‌یک و بدون جایگذاری انتخاب کنیم، احتمال آنکه شماره کارت‌ها به‌صورت صعودی انتخاب شوند، کدام است؟

کفاشی به‌طور کاملاً تصادفی از کمدی محتوی ۵ جفت کفش متفاوت، چهار لنگه کفش را بدون جایگذاری انتخاب می‌کند. احتمال اینکه هیچ جفت کفشی در این چهار لنگه کفش انتخاب نشده باشد، کدام است؟

فرض کنید ۱۰ سکه در یک جعبه قرار دارند که i اُمین سکه با احتمال i/۱۰ ، (i = ۱, ۲, …, ۱۰) شیر می‌آید. یک سکه به تصادف انتخاب نموده و آن را به دفعات پرتاب می‌کنیم. اگر ۵ پرتاب اول نتیجه‌اش شیر باشد…

فرض کنید متغیر تصادفی X دارای توزیع یکنواخت پیوسته روی بازهٔ (۰,۱) باشد. تابع چگالی احتمال جذر یک منهای X^۲ ، (Y=√(۱-X^۲)) ، کدام است؟

فرض کنید U ~ U([∘,۱]) باشد. اگر X=⌊ nU ⌋ + ۱ ، n ∈ N ، توزیع X کدام است؟ ( DU نمایانگر توزیع یکنواخت گسسته است.)