معادلات دیفرانسیلDifferential Equations
معادلات دیفرانسیل معمولی: روش‌های مرتبهٔ اول، معادلات خطی، جواب‌های سری و دستگاه‌ها.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 9
مسئله‌ای روی [0,∞) را به فضای s می‌بریم — مشتق به ضرب در s ، انتگرال به تقسیم بر s ، پیچش به ضرب معمولی، ضرب در t به -d/ds ، و هر عامل نمایی e^(-as) (به هر شکل پنهان، مثلاً 2^(-s) ) به یک تأخیر زمانی تبدیل می‌شود — سپس مسئله را جبری (یا به‌صورت یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ پایین‌تر برحسب Y ) حل می‌کنیم، با مربع‌کامل‌کردن وارون می‌گیریم، یا فقط عددِ خواسته‌شده را می‌خوانیم.
حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت به روش مشخصه/عملگری (به همراه تشدید)، حل معادلات اویلر–کوشی از هر مرتبه با چندجمله‌ای شاخص و t=ln x ، و تحویل معادلهٔ کلی y''+Py'+Qy=0 به ضرایب ثابت به کمک z=∫√Q dx .
یک نقطه را عادی یا تکین (منظم) دسته‌بندی کنید، سپس جواب را به صورت یک سری توانی یا یک سری فروبنیوس که توان پیشرو آن معادلهٔ اندیسی را برآورده می‌کند بسط دهید.
پیوستگی f وجود جواب را می‌دهد (پئانو)؛ افزودن شرط لیپ‌شیتز نسبت به y (که پیوستگی/کران‌داری ∂ f/∂ y آن را تضمین می‌کند) آن را به یکتایی ارتقا می‌دهد — جوابی که به‌طور سازنده با تقریب‌های متوالی پیکار و اصل انقباض باناخ ساخته می‌شود، به‌طور پیوسته به داده‌ها وابسته است (گرون‌وال)، و تا یک بازهٔ باز ماکسیمال تعمیم می‌یابد که تنها با انفجار در زمان متناهی یا با خروج از دامنهٔ f می‌تواند آن را ترک کند — و آنجا که لیپ‌شیتز برقرار نباشد، مجموعهٔ جواب‌ها هرگز صرفاً «چند تا» نیست: یک پیوستار کامل است (قیف پئانو، کنِسِر).
جعبه‌ابزار کاملِ «تشخیص بده، سپس اعمال کن» برای معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اول — جداشدنی، خطی (عامل انتگرال‌ساز)، کامل، برنولی/ریکاتی، ضابطهٔ مادر μ'/μ=(M_y-N_x)/(z_xN-z_yM) که تعیین می‌کند آیا عامل انتگرال‌ساز برحسب هر متغیر آزمونِ z ( x ، y ، xy ، x± y ، x/y ، x^2+y^2 ) وجود دارد یا نه، و تغییر متغیرهای v=y/x ، v=ax+by+c ، x=x(y) — به‌علاوهٔ کاهش‌مرتبه‌هایی که یک معادلهٔ مرتبهٔ دوم را به یکی از این‌ها تبدیل می‌کنند، شرط‌های جانبی (کران‌داری در نقطهٔ تکین) که ثابت را قفل می‌کنند، و قاعدهٔ انتخاب شاخه که از یک خم انتگرالیِ ضمنی، تنها جوابِ گذرنده از نقطهٔ اولیه را بیرون می‌کشد.
یک مسئلهٔ اشتورم–لیوویل (py')'+qy+λ w y=0 با شرایط مرزی جداشده دارای مقادیر ویژهٔ حقیقی، ساده و گسسته است که توابع ویژهٔ آن کامل بوده و نسبت به وزن w (ضریب λ ) متعامد‌اند — هرگز نسبت به p .
سرنوشت یک نقطهٔ تعادل را در حالت هذلولوی از ژاکوبین آن بخوانید و در حالت غیرهذلولوی از تابع لیاپانوف/چتایف یا تحویل به خمینهٔ مرکزی؛ هر پرسش کیفی دربارهٔ X'=AX را از طیف به‌همراه ساختار جردنِ A نتیجه بگیرید؛ و رفتار بلندمدتِ معادلات خطیِ ناخودگردان را با فرمول آبل–لیوویل، نامساوی‌های لانداو و ضرایب فلوکه تعیین کنید.
برای جواب‌های یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی، ورونسکین از فرمول آبل W=W(x_0)e^(-∫ a_(n-1)) پیروی می‌کند (هم‌ارز با detφ(t)=detφ(t_0)e^inttrA )، پس یا به‌طور یکسان صفر است یا هرگز صفر نمی‌شود — و همین اتحاد، جواب دوم گم‌شده را با کاهش مرتبه به دست می‌دهد، ماتریس اساسی دستگاه‌های با ضرایب متغیر را می‌سازد و موتور روش تغییر پارامترهاست.
برای یک دستگاه صفحه‌ای X'=AX ، تنها اثر و دترمینان A نوع مبدأ (زین، گره، مارپیچ یا مرکز) و پایداری آن را تعیین می‌کنند — پایداری مجانبی دقیقاً معادل trA<0 به همراه det A>0 است.