هر سوال همراه با یک پاسخ تشریحی کامل و تقویت‌شده است.
فرض کنید A ماتریسی n× n باشد، به‌طوری‌که برای هر ماتریس B با اثر صفر داشته باشیم tr(BA)=۰ . در این‌صورت، A چگونه ماتریسی است؟
کدام‌یک از گزاره‌های زیر، در مورد ماتریس‌های متشابه درست نیست؟
فرض کنید T : V → W یک تبدیل خطی باشد. اگر dim T(V) = ۱ ، dim ker T = ۲ و dim W = ۴ . در این‌صورت، کدام مورد درست است؟
فرض کنید ماتریس A= ۵, ۷ ; ۲, ۳ و λ_۱ و λ_۲ مقادیر ویژه آن باشند. حاصل λ_۲^۲+λ_۱^۲ ، کدام است؟
فرض کنید P_n[x] فضای برداری چندجمله‌ای‌های از درجه حداکثر n با ضرایب حقیقی باشد و تبدیل خطی زیر را درنظر بگیرید: T : P_n[x] → P_n[x] با ضابطه T(f(x)) = x f'(x) - f(x) در این صورت، کدام گزاره در مورد…
فرض کنید A یک ماتریس مربعی باشد. کدام مورد نادرست است؟
فرض کنید Q = a, ۰, ۰ ; b, c, d ; ۰, e, f و A = -۲, ۱, -۱ ; ۱, ۳, ۰ ; ۵, ۴, ۲ . Q یک ماتریس متعامد باشد، به‌طوری‌که درایهٔ واقع در سطر سوم و ستون دوم ماتریس QA صفر باشد. مقدار a^۲ + c^۲ + e^۲ کدام است؟
فرض کنید T:R^2toR^2 با ضابطه‌ی T(a,b)=(a+2b, -2a+b) باشد. در این صورت T^4 برابر کدام است؟
کلیه مقادیر k را پیدا کنید که ماتریس A= 2, 1, k ; 0, 1, 1 ; k, 0, 1 وارون‌پذیر باشد؟
فرض کنید T : P_2(R) → P_3(R) با ضابطه T(f)(x) = 2f'(x) + ∫_0^x 3f(t) dt باشد که در آن P_n(R) فضای برداری چندجمله‌ای‌های از درجه حداکثر n روی میدان R است. کدام مورد درست است؟
اگر λ_1, λ_2, …, λ_n مقادیر ویژهٔ ماتریس A (با احتساب تعدد) باشند، آنگاه λ_1^2+λ_2^2+⋯+λ_n^2 برابر است با:
فرض کنید A = 0, 0, 0, 0, 0 ; 0, 0, 0, 0, 0 ; 3, 1, 0, 0, 0 ; 0, 0, 0, 1, 2 ; 0, 0, 0, -1, -1 . در این صورت A به‌عنوان یک تبدیل خطی در R^5 :
کدام مورد برای ماتریس‌های متعامد حقیقی B و A ، لزوماً برقرار نیست؟
اگر λ = 4 یک مقدار ویژه ماتریس A و x = -4/5 ; -4 ; 1 ، بردار ویژه متناظر با آن باشد، آنگاه بردار A^5 x کدام است؟
اگر بردارهای v_1 = ۱ ; ۰ ; ۰ , v_2 = x ; ۱ ; -x , v_3 = ۱ ; ۲x ; ۳x+۱ از یک فضای برداری روی میدان اعداد حقیقی، مستقل خطی باشند، آنگاه مقدار x می‌تواند...
اگر A و B ماتریس‌هایی ۲×۲ با درایه‌های حقیقی باشند، به‌طوری‌که (AB)^۲ = ۰ ، که در آن ۰ ماتریس صفر ۲×۲ می‌باشد، آنگاه کدام مورد درست است؟
فرض کنید A یک ماتریس ۲×۲ با درایه‌های حقیقی باشد. اگر رتبه‌ی ستونی A برابر با ۱ باشد و tr(A)=۵ ، آنگاه tr(A^۲) برابر است با:
دترمینان ۱, log_x^y, log_x^z ; log_y^x, ۳, log_y^z ; log_z^x, log_z^y, ۵ برابر با کدام است؟
اگر A و B ماتریس‌های n× n با درایه‌های حقیقی باشند و چنانچه ماتریس A وارون‌پذیر (نامنفرد) باشد، آنگاه کدام مورد <u>نادرست</u> است؟
فرض کنید Q = Q_11, ۰, Q_13 ; ۰, ۱, ۰ ; Q_31, ۰, Q_33 ، یک ماتریس متعامد و A = ۴, -۱, ۲ ; ۳, ۶, ۱۰ ; ۱, ۲, ۱ . اگر A = QB و B_13 = ۰ ، آنگاه مقدار lvert Q_31rvert کدام است؟
فرض کنید B و A دو ماتریس مربعی باشند. کدام‌یک از گزاره‌های زیر دربارهٔ رتبه و اثر ماتریس‌ها درست است؟ ( tr(A) یعنی اثر ماتریس A )
فرض کنید A=(a_ij) یک ماتریس n× n ، n≥ ۴ ، با درایه‌های a_ij=i+j برای ۱≤ i, j≤ n باشد. دراین‌صورت رتبه A ، کدام است؟
فرض کنید C^(∞)(R) فضای برداری تمام توابع f:RtoR باشد که f در هر نقطه از R از هر مرتبه مشتق‌پذیر است و تبدیل خطی T:C^(∞)(R)→ C^(∞)(R) با ضابطه T(f(x))=f'(x) باشد. دراین‌صورت کدام مورد <u>نادرست</u>…
اگر N یک ماتریس ۴ × ۴ غیرصفر پوچ‌توان با درایه‌های حقیقی باشد، آنگاه چندجمله‌ای مشخصه I + N ، کدام است؟
فرض کنید A ، یک ماتریس ۲×۲ حقیقی است. اگر tr(A^۲)=۲۵ و tr(A)=۷ ، دراین‌صورت حاصل‌ضرب مقادیر ویژهٔ A ، کدام است؟ ( tr(A) یعنی اثر ماتریس A )
فرض کنید: A^Tu = ۰ ⇒ u^Tb = ۰. گزینه درست کدام است؟
فرض کنیم W_۱ و W_۲ زیرفضاهایی از R^۳ هستند که به‌صورت زیر تعریف می‌شوند. W_۱= (a,b,c) a=b=c W_۲= (a,b,c) a+b+c=۰ در این‌صورت dim W_۱+dim W_۲ برابر است با:
کدام‌یک از موارد زیر به‌ازای هر ماتریس A ∈ M_2(R) برقرار است؟
در فضای برداری ماتریس‌های ۲ × ۳ ، بعد زیرفضای W تولید شده توسط ماتریس‌های A = ۱, ۲, ۳ ; ۴, ۰, ۵ , B = ۲, ۴, ۷ ; ۱۰, ۱, ۱۳ , C = ۱, ۲, ۵ ; ۸, ۲, ۱۱ کدام گزینه است؟
فرض کنید P_۲[x] فضای برداری متشکل از همه چندجمله‌ای‌های از درجه حداکثر ۲ با ضرایب حقیقی باشد. اگر T : P_۲[x] → P_۲[x] یک تبدیل خطی با ضابطهٔ T(a_0 + a_1x + a_2x^۲) = (۳a_0) + (۶a_0 + ۵a_1)x + (۴a_0…
فرض کنید α=(a,b,c)inR^3 بردار ثابت ناصفری باشد و تبدیل خطی T:R^3toR^3 را به‌صورت T(v)=α× v تعریف می‌کنیم (در اینجا α× v ضرب خارجی بردارهای α و v است). یک مقدار ویژه T و یک بردار ویژه متناظر به‌ترتیب…
ماتریس‌های A و D = U^tAU را در نظر بگیرید. اگر U یک ماتریس متعامد نرمال باشد و x و λ به‌ترتیب بردار و مقدار ویژه ماتریس D باشند، آنگاه بردار ویژه و مقدار ویژه A به‌ترتیب ............... هستند.
مجموعه مقادیر ویژه ماتریس ۳ × ۳ حقیقی A برابر است با -۱, i, -i . در این‌صورت:
فرض کنید P_۴ فضای چندجمله‌ای‌های حداکثر از درجه ۴ با ضرایب حقیقی باشد. اگر W= f(x)∈ P_۴ f(۱)+f(-۱)=۰=f(۲)+f(-۲) آنگاه بعد زیرفضای W برابر است با:
فرض کنید V یک فضای برداری با بعد متناهی روی میدان F و T : V → V یک عملگر خطی باشد، کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟
فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی با درایه‌های حقیقی باشند به‌طوری‌که A^2≠ A و B^2=2B . اگر چندجمله‌ای‌های مشخصه A و B به‌ترتیب برابر باشند با x(x-1)^2 و x^2(x-2)^2 ، آنگاه چندجمله‌ای مینیمال ماتریس…
فرض کنید A و B دو ماتریس n × n حقیقی متمایز باشند به‌طوری‌که AB = BA . اگر A دارای n مقدار ویژه متمایز باشد، کدام گزینه صحیح است؟