سوالات

فرض کنید f روی (0,∞) پیوسته باشد. کدام مورد درست است؟

فرض کنید دنباله a_n در رابطه a_n - a_(n-۱) ≤ A_n برای ∃ N ∀ n ≥ N صدق می‌کند. به‌ازای کدام مقدار A_n ، دنباله a_n ممکن است واگرا باشد؟

اگر A = m/n + 4 n/m middle m, n ∈ N ، آنگاه کدام گزینه درست است؟

اگر A = dfrac m ۳^n middle m, n ∈ N ، آنگاه بستار این مجموعه در R ، کدام است؟

فرض کنید تابع f:[a,b]toR با ضابطهٔ f(x)= x, x∈[a,b]capQ; -x, x∈[a,b]capQ^c تعریف شود. کدام گزینه درست است؟ ( Q مجموعهٔ اعداد گویا است.)

فرض کنید a_n _(n=1)^(∞) دنباله‌ای کران‌دار از اعداد حقیقی است و α = liminf_(n→∞) a_n . برای هر ε > 0 قرار می‌دهیم: A_ε = n ∈ N : a_n < α - ε B_ε = n ∈ N : α + ε < a_n کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f:[۰,۱]→[۰,۱] تابعی پیوسته است، کدام گزینه نادرست است؟

کدام تابع بر [0,+∞) پیوسته یکنواخت نیست؟

فرض کنید دنبالهٔ توابع f_n به‌طور یکنواخت به تابع f همگرا باشد. کدام‌یک از گزاره‌های زیر لزوماً درست نیست؟

فرض کنید تابع f:[∘,۱] با ضابطهٔ f(x)=∑_(n=۱)^(∞)dfrac sin(nx) n^α تعریف شود که α∈(۲,∞) . کدام گزینه درست است؟

برای هر عدد طبیعی n ، تابع f_n:(۰,۱)toR را با ضابطه f_n(x)= ۱, x=p/qinQ, q≤ n 2pt] ۰, درغیراین‌صورت تعریف می‌کنیم. کدام گزینه درست است؟

فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک فشرده و برای هر ninN ، f_n:XtoR تابعی پیوسته است. گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم: الف ــ دنباله توابع f_n بر X همگرای یکنواخت است. ب ــ دنباله توابع f_n بر X هم‌پیوسته…

دنبالهٔ f_n : R^+ → R با ضابطهٔ f_n(x) = nx/(n^2 + x) تعریف می‌شود که R^+ = [۰, ∞) . کدام گزینه برای دنباله نادرست است؟

سری ∑_(n=۱)^(∞) (x^n)/(۱+x^n) را بر بازه (۰,∞] در نظر می‌گیریم. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید a_n دنباله‌ای از اعداد صحیح ناصفر است که به‌ازای هر n ∈ N ، n ≤ a_(n+1) - a_n ≤ Υ n . شعاع همگرایی سری ∑_(n=∘)^(∞) a_n x^n ، کدام است؟

فرض کنید a_n دنباله‌ای از اعداد حقیقی نامنفی باشد. گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم، (x ∈ R) : الف) اگر سری ∑_(n=1)^(∞) a_n sin(nx) همگرای یکنواخت باشد، آنگاه lim_(n→∞)(a_n + ⋯ + a_2n) = 0 . ب) اگر…

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع انتگرال‌پذیر ریمان بر [a ,b] است که به تابع f همگرای نقطه‌ای است. از کدام گزینه نتیجه می‌شود که f بر [a ,b] انتگرال‌پذیر ریمان و lim_(n→∞)∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b f(x)…

فرض کنید دنباله توابع حقیقی مقدار f_n و g_n بر مجموعه E همگرای یکنواخت باشند. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f:[0,1]toR تابعی پیوسته باشد و g بر [0,1] با ضابطهٔ g(x)=sup f(t): 0≤ t≤ x تعریف شود. کدام مورد درست است؟

فرض کنید f:RtoR تابعی پیوسته باشد به طوری که برای هر x,yinR و به ازای ثابت C>0 رابطهٔ زیر برقرار باشد: f(x)-f(y) ≥ C x-y . کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید برای هر n ، a_n > 0 و سری ∑_(n=1)^(∞) a_n همگرا است. کدام سری، واگرا است؟

دنباله f_n بر R با ضابطه f_n(x)=dfrac x^2 1+(2sin x)^2n و تابع f بر R با ضابطه f(x)=limlimits_(n→∞) f_n(x) تعریف می‌شود. مجموعه نقاط ناپیوستگی f کدام است؟

تابع f:[0,1]toR با ضابطه f(x)=∑_(n=1)^(∞)frac 1 n^2 χ_([0,1/n[)(x) تعریف شده است، که χ تابع مشخصه است. کدام مورد درباره تابع f ، نادرست است؟

توابع R→[0,1]:f_n ، ninN ، را با ضابطه f_n(x)= ∘, x∈[۲/n,۱] ; ۲-nx, x∈[۱/n,۲/n] ; nx, x∈[∘,۱/n] در نظر بگیرید. درباره دنباله f_n ، کدام مورد درست است؟

توابع f_n ، ninN ، بر بازه [∘,(π)/2] بهصورت زیر تعریف میشوند: f_1(x)=sin x, f_(n+1)(x)=sin f_n(x) (ninN). درباره دنباله f_n کدام مورد درست است؟

برای هر ninN تابع f_n(x)=dfrac x 1+nx^2 را بر R در نظر بگیرید. کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع مشتق‌پذیر و یکنواخت همگرا بر R است. کدام دنباله یکنواخت همگرا است؟

فرض کنید f_n:[0,1]toR با ضابطهٔ f_n(t)=∫_(1/2)^1 x^t sin(nx) dx تعریف شده باشد. دربارهٔ دنبالهٔ f_n کدام مورد درست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع پیوسته بر R باشد که به‌طور نقطه‌ای به تابع g همگرا است. از کدام شرط زیر، پیوستگی تابع g بر R نتیجه می‌شود؟

شعاع همگرایی سری توانی ∑_(n=2)^(∞)(1-n)^n x^(n!) کدام است؟

فرض کنید a_n دنباله‌ای از اعداد حقیقی است، A = a_n : n ∈ N ، α = sup A و β = limsup_(n→∞) a_n که α, β ∈ (-∞, ∞] . کدام مورد نادرست است؟

کدام مورد درباره تابع حقیقی f درست است؟

اگر f:RtoR پیوسته باشد، کدام مورد درست است؟

تابع f:[0,1]toR و مجموعهٔ A= a∈[0,1]: f در a پیوسته نیست ولی در a حد دارد را درنظر می‌گیریم. کدام گزینه دربارهٔ مجموعهٔ A درست است؟

فرض کنید تابع ناصفر f_0 بر بازه‌ی [0,1] پیوسته باشد و f_n(x)=∫_0^x f_(n-1)(t) dt (0≤ x≤ 1, n=1,2,…). کدام گزینه درباره‌ی همگرایی دنباله‌ی توابع f_n _(n=1)^(∞) بر [0,1] درست است؟

فرض کنید به‌ازای هر ninN ، تابع f_n:(0,∞)toR با ضابطه f_n(x)=Arctg(nx) تعریف شده‌است. کدام گزینه درباره دنباله f_n _(n=1)^(∞) بر (0,∞) درست است؟

کدام تابع بر R مشتق‌پذیر است؟

مقدار سری ∑_(n=۱)^(∞)(∫_۱^۲frac x (۱+x)^n dx) کدام است؟

فرض کنید به‌ازای هر n ∈ N تابع f_n بر [۰,۱] پیوسته باشد و ∑_(n=۱)^(∞) f_n بر (۰,۱) یکنواخت‌همگرا باشد. کدام گزینه درست است؟

دنباله توابع f_n _(n=1)^(∞) بر R به‌صورت f_n(x) = max ۰,۱ - x - n تعریف می‌شود. کدام گزینه درباره دنباله f_n _(n=1)^(∞) نادرست است؟