سوالات

فرض کنید به‌ازای هر ninN تابع f_n:[0,∞)toR با ضابطه f_n(x)=ln(nx+1)/(nx+2) تعریف شده است. کدام گزینه درباره دنباله f_n _(n=1)^(∞) و بازه‌های I=[0,1] و J=[1,∞) درست است؟

فرض کنیم A_i _(i∈ I) خانواده‌ای از زیر مجموعه‌های ناتهی مجموعه کاملاً مرتب (X,≤) باشد. اگر B=bigcap_(i∈ I)A_i≠∅ و α=sup inf A_i : i∈ I و β=inf sup A_i : i∈ I در (X,≤) موجود باشند، کدام گزینه، درست…

فرض کنید x_n دنباله‌ای از اعداد حقیقی باشد که برای هر n، x_۲n < x_(۲n+۲) < x_(۲n+۱) < x_(۲n-۱) کدام مورد، درست است؟

فرض کنید f:RtoR ، AsubseteqR و f(A) در R ، چگال باشد. کدام مورد، درست است؟

فرض کنید I=[0,1]×[0,1] و تابع f: I → R با ضابطهٔ زیر تعریف شود، مقدار عبارت overline ∫_0^1 f(x,y) dx - underline ∫_0^1 f(x,y) dx ، کدام است؟ f(x,y)= y^2, x ∈ Q ; y, x ∉ Q

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع حقیقی کراندار بر مجموعه S باشد که بر S به تابع f یکنواخت همگرا است. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید دنبالهٔ f_n بر (۰,۱] با ضابطهٔ زیر تعریف شود: f_۰(x)=xsin۱/x , f_n(x)=∫_۰^x f_(n-۱)(t)dt (n≥ ۱) کدام گزینه دربارهٔ سری توابع ∑_(n=۱)^(∞) f_n درست است؟

فرض کنید دنبالهٔ f_n بر [0,2π] یکنواخت همگرا به صفر باشد و به‌ازای هر x∈[0,2π] دنبالهٔ f_n(x) نزولی باشد. کدام گزینه درمورد سری ∑_(n=1)^(∞) f_n(x)sin nx درست است؟

فرض کنید به ازای هر n ∈ N ، f_n : [0, ∞) → R تابعی انتگرال‌پذیر باشد و F_n : [0, ∞) → R با ضابطهٔ F_n(x) = ∫_0^x f_n(t) dt تعریف شود. اگر دنبالهٔ f_n همگرای یکنواخت باشد، کدام گزینه درست است؟

دنبالهٔ توابع f_n ، با ضابطهٔ زیر تعریف می‌شود: f_n:[1,3/2]toR ; f_n(x)=(tan^n x)/(1+tan^n x) کدام گزینه دربارهٔ دنبالهٔ f_n درست است؟

فرض کنید (X,d) فضای متریک و x_(∘)∈ X . برای هر n ، تابع f_n بر X به‌صورت f_n(x)=frac d(x,x_(∘)) ۱+n d(x,x_(∘)) تعریف می‌شود. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع پیوسته بر [0,1] باشد که به تابع پیوسته f نقطه‌وار همگرا است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید a_n دنباله‌ای از اعداد نامنفی باشد و lim_(x→ 1^-)∑_(n=1)^(∞) a_n x^n = A . کدام گزینه نادرست است؟

کدام گزینه جبر چگال C([-1,1]) است؟

در کدام بازه سری ∑_(n=2)^(∞) ((2x-1)^n)/(3^n ln n) ، همگرای مطلق است؟

فرض کنید تابع f:(0 ,∞)→(0 ,∞) پیوسته باشد و برای هر عدد طبیعی n مجموعهٔ x: f(x)>1/n کراندار باشد. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید تابع f:RtoR دارای خاصیت زیر باشد: به‌ازای هر ε>۰ تابعی یکنواخت پیوسته بر R مانند g وجود دارد به‌طوری که برای هر tinR ، f(t)-g(t) <ε . کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f:[0,1]→[0,1] تابعی پیوسته غیرثابت باشد و E= x∈[0,1]:f(x)=x . کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

دنباله توابع f_n(x) = e^(-nx)(x+1/n) بر [۰,۱] تعریف شده است. کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید تابع f : [0,1] → R پیوسته و غیرثابت است. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع نامنفی و پیوسته بر R باشد که به‌ازای هر x ∈ R ، ∑_(n=1)^(∞) f_n(x) = 1 . کدام گزینه درست است؟

فرض کنید تابع f:[۰,۱]toR پیوسته باشد و دنبالهٔ توابع f_n بر [۰,۱] با ضابطهٔ زیر تعریف شود: f_n(x)=frac f(x)sin x^n ۱+n^αx^m که در آن α>۰ و minN . در این‌صورت دنبالهٔ f_n :

فرض کنید X یک فضای متریک و f_n : X → X دنباله‌ای هم‌پیوسته از توابع بر X باشد که نقطه‌وار به تابع f : X → X همگرا است. کدام شرط برای پیوستگی یکنواخت f ضروری است؟

مقدار lim_(n→∞)∫_0^πfrac n+sin(nx) 3n+sin^2(nx) dx ، کدام است؟

کدام گزینه دربارهٔ سری‌های A=∑_(n=1)^(∞)(sin^(n+2)x-sin^nx)sin(nx) بر [(π)/4,(3π)/4] و B=∑_(n=1)^(∞)frac x^n n^(x+1) بر [1/2,1] درست است؟

اگر f(x) = ∑_(n=۱)^(∞) nxe^(-nx^۲) آنگاه ∫_(-۱)^۱ f(x) dx کدام است؟

کدام گزینه دربارهٔ دنباله‌های توابع A= ۱/(cosh(x+n)) _(n=۱)^(∞) و B= dfrac ۱ ۱+sinh^۲(۱-n^۲x^۲) _(n=۱)^(∞) بر R درست است؟

فرض کنید x_k _(k=1)^(∞) دنباله‌ای با جملات متمایز در R باشد و به‌ازای هر ninN ، A_n= x_k : k≥ n و A=bigcap_(n=1)^(∞)A_n' که A_n' مجموعه نقاط حدی A_n است. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f_1(x)=1+sin x و به‌ازای هر ninN ، f_(n+1)(x)=√(2+f_n(x)) کدام گزینه درباره دنباله f_n درست است؟

فرض کنید ∑_(n=۰)^(∞) C_n x^n سری مک لوران تابع f:RtoR و rinR شعاع همگرایی آن باشد. شرط لازم و کافی برای همگرایی سری ∑_(n=۰)^(∞) C_n کدام است؟

فرض کنیم B= rinQ : 0<r∧ 3<r^2 و A= rinQ : r<0∨ r^2≤ 3 . کدام گزینه درست است؟

فرض کنید 0 < a < b . دنبالهٔ a_n را با ضابطهٔ a_n= a^(n+3), n زوج; b^(n+3), n فرد تعریف می‌کنیم. فرض کنید α=lim_(x→∞)n√(a_n) ، β=lim_(x→∞)dfrac a_(n+1) a_n و γ=lim_(x→∞)dfrac a_(n+1) a_n . کدام گزینه…

تابع f:[-1,1]→[-1,1] مفروض است. پیوستگی کدام تابع بر [-1,1] معادل پیوستگی تابع f بر [-1,1] است؟

دربارهٔ سری ∑_(n=1)^(∞)dfrac x x+(1-nx)^2 کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید (X,d) و (Y,ρ) فضاهای متریک باشند. تابع f : X → Y و دنبالهٔ f_n از توابع بر X به توی Y مفروض‌اند. کدام‌یک از گزینه‌ها تعریف همگرایی یکنواخت f_n → f بر X است؟ (البته در فرمول‌های منطقی ε و δ…

شعاع همگرایی سری توانی ∑_(n=۱)^(∞)((-1)^n)/(n^۲) n^(n!)((۲x+x_∘)/۴)^((n+۱)!) کدام است؟

فرض کنید α > 0 . در مورد سری توابع ∑_(n=1)^(∞) frac (-1)^n sqrt n^α+x^2 کدام گزینه درست است؟

در فضای C[-1,1] با متر یکنواخت d(f,g)=sup_( x ≤ 1) f(x)-g(x) ، کدام مجموعه بسته نیست؟

فرض کنید c>0 و f_n(x)=n^cx(1-x^2)^n ( x∈[0,1] و n≥ 1 ). کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید g:[۰,۱]toR تابعی پیوسته غیرثابت باشد به‌طوری که g(۱)=۰ . دنبالهٔ f_n از توابع بر [۰,۱] را با ضابطهٔ f_n(x)=x^n g(x) (x∈[۰,۱]) درنظر می‌گیریم. کدام گزینه در مورد f_n درست است؟